1. 該可行解區域位於第一象限（$x \ge 0, y \ge 0$）。 2. 考慮邊界直線： - $$L_1: x - 3y = a$$ - $$L_2: x + 2y = 14$$。 $$L_2$$ 與兩坐標軸在第一象限圍成一個直角三角形，其頂點為 $O(0,0)$、$(14,0)$、$(0,7)$。 3. 直線 $$L_1: x - 3y = a$$ 與其他邊界的交點為： - 與 $x$ 軸（$y = 0$）交於 $$A(a, 0)$$。 - 與 $$L_2$$ 的交點為 $I$。聯立方程式： $$\begin{cases} x - 3y = a \\ x + 2y = 14 \end{cases}$$。 兩式相減得 $$5y = 14 - a \implies y = \dfrac{14-a}{5}$$。 代回得 $$x = 14 - 2y = \dfrac{42+2a}{5}$$。 因此交點為 $$I\left(\dfrac{42+2a}{5}, \dfrac{14-a}{5}\right)$$。 4. 為了讓交點 $I$ 位於第一象限且區域有界，我們需要 $a \le 14$ 且 $a \ge 0$。此時，第一象限的區域為一個四邊形，其頂點為 $O(0,0)$、$P(0,7)$、$I$、和 $A(a,0)$。 5. 我們可以將此四邊形 $OPIA$ 分割為兩個以坐標軸為底邊的三角形： - 三角形 $OPI$：以 $$OP = 7$$ 為底，高為 $I$ 點的 $x$ 坐標： $$\text{面積}(OPI) = \dfrac{1}{2} \times 7 \times \left(\dfrac{42+2a}{5}\right) = \dfrac{294 + 14a}{10}$$。 - 三角形 $OAI$：以 $$OA = a$$ 為底，高為 $I$ 點的 $y$ 坐標： $$\text{面積}(OAI) = \dfrac{1}{2} \times a \times \left(\dfrac{14-a}{5}\right) = \dfrac{14a - a^2}{10}$$。 6. 四邊形總面積為兩三角形面積之和： $$\text{面積} = \dfrac{294 + 28a - a^2}{10}$$。 已知面積為 $$\dfrac{213}{5} = \dfrac{426}{10}\text{ 平方單位}$$： $$\dfrac{294 + 28a - a^2}{10} = \dfrac{426}{10} \implies a^2 - 28a + 132 = 0 \implies (a - 6)(a - 22) = 0$$。 7. 因為條件限制 $a \le 14$（以確保 $I$ 點在第一象限），故 $a = 22$ 不合。因此得出 $$a = 6$$。