1. 寫出該線性方程組的增廣矩陣： $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & \mid & 0 \\ 2 & 1 & 3 & \mid & 6 \\ 1 & -1 & 0 & \mid & 6 \\ 1 & -2 & -1 & \mid & 8 \end{bmatrix}$$。 2. 進行列初等變換（高斯消去法）： - $$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$： $$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 & \mid & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{同除以 }-3} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & \mid & -2 \end{bmatrix}$$。 - $$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$$： $$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 & \mid & 6 \end{bmatrix}$$。 - $$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$$： $$\begin{bmatrix} 0 & -4 & -4 & \mid & 8 \end{bmatrix}$$。 此時增廣矩陣變為： $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & \mid & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \mid & -2 \\ 0 & -3 & -3 & \mid & 6 \\ 0 & -4 & -4 & \mid & 8 \end{bmatrix}$$。 3. 消去第三與第四列（因為它們與第二列成比例）： - $$R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 \implies \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}$$。 - $$R_4 \leftarrow R_4 + 4R_2 \implies \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}$$。 4. 將第一列簡化，$$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$$： $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 4 \end{bmatrix}$$。 5. 最終的最簡行梯陣式（RREF）為： $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \mid & 4 \\ 0 & 1 & 1 & \mid & -2 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}$$。 6. 對照目標最簡矩陣格式： $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$， 對比對應位置元素，得出：$$a = 1,\ b = 4,\ c = 1,\ d = -2$$。