根據題意，設規劃 $x$ 人轉搭甲航空公司（$A$ 方案）、$y$ 人轉搭乙航空公司（$B$ 方案）。 因為總人數為 $25$ 人，故轉搭丙航空公司（$C$ 方案）的人數為 $25 - x - y$ 人。 其中 $x, y$ 必須為非負整數，且滿足 $x + y \le 25$。 **(1) 線性規劃不等式與目標函數**： - **食宿費經費限制**（總共最多 $150000$ 元）： $$4500x + 5500y + 8000(25 - x - y) \le 150000$$ 展開並同除以 $500$： $$9x + 11y + 16(25 - x - y) \le 300 \implies 9x + 11y + 400 - 16x - 16y \le 300 \implies -7x - 5y \le -100 \implies 7x + 5y \ge 100$$ - **轉機價差經費限制**（總共最多 $8000$ 元）： $$400x + 200y + 0(25 - x - y) \le 8000 \implies 400x + 200y \le 8000 \implies 2x + y \le 40$$ - **人數限制及非負限制**： $$x + y \le 25\text{，且 } x \ge 0, y \ge 0$$ 由此可得，線性規劃不等式組為： $$\begin{cases} 7x + 5y \ge 100 \\ 2x + y \le 40 \\ x+y \le 25 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ **目標函數**： 設等待總人天數為 $T$。根據題意， $$T = 3x + 4y + 6(25 - x - y) = 3x + 4y + 150 - 6x - 6y = 150 - 3x - 2y$$ **(2) 求可行解區域的所有頂點坐標**： 我們繪製可行解區域，其邊界直線方程式為： - $L_1: 7x + 5y = 100$ - $L_2: 2x + y = 40$ - $L_3: x + y = 25$ - $x = 0$ 軸、 $y = 0$ 軸 求解可行解區域邊界直線的交點： - 當 $x = 0$ 時，由 $L_1$ 得 $y = 20$，頂點為 $A(0, 20)$；由 $L_3$ 得 $y = 25$，頂點為 $B(0, 25)$。 - 直線 $L_2$ 與 $L_3$ 的交點： $$\begin{cases} 2x + y = 40 \\ x + y = 25 \end{cases} \implies x = 15, y = 10 \ \ \implies 頂點 C(15, 10)$$ - 直線 $L_2$ 與 $x$ 軸的交點：$y = 0 \implies 2x = 40 \implies x = 20$，頂點為 $D(20, 0)$。 - 直線 $L_1$ 與 $x$ 軸的交點：$y = 0 \implies 7x = 100 \implies x = \dfrac{100}{7}$，頂點為 $E\left(\dfrac{100}{7}, 0\right)$。 因此，可行解區域的頂點坐標為： $$A(0, 20), B(0, 25), C(15, 10), D(20, 0), E\left(\dfrac{100}{7}, 0\right)$$ **(3) 求最少等待總人天數**： 我們將各頂點坐標代入目標函數 $T = 150 - 3x - 2y$： - 代入 $A(0, 20)$ 得 $T = 150 - 3(0) - 2(20) = 110$ - 代入 $B(0, 25)$ 得 $T = 150 - 3(0) - 2(25) = 100$ - 代入 $C(15, 10)$ 得 $T = 150 - 3(15) - 2(10) = 85$ - 代入 $D(20, 0)$ 得 $T = 150 - 3(20) - 2(0) = 90$ - 代入 $E\left(\dfrac{100}{7}, 0\right)$ 得 $T = 150 - 3\left(\dfrac{100}{7}\right) = \dfrac{750}{7} \approx 107.14$ 經比較，當 $x = 15, y = 10$ 時，目標函數有最小值 $85$ 人天。 故最少等待總人天數為 $85$ 人天。