101指考數學乙非選第12題詳解

$(1)$ 設甲商品 $x$ 箱、乙商品 $y$ 箱。限制條件包括總箱數限制、總載重限制及非負限制。 因此聯立不等式為： $$\begin{cases} x + y \le 100, \\ 2x + y \le 160, \\ x \ge 0,\; y \ge 0. \end{cases}$$ （其中 $x, y$ 為非負整數。） $(2)$ 2. 目標函數（利潤）：$P = 1200x + 1000y$。 3. 可行解區域的頂點： $A(0, 0)$：$P = 0$； $B(80, 0)$：$P = 1200 \times 80 = 96000$； $C$：解 $\begin{cases} x + y = 100, \\ 2x + y = 160 \end{cases}$，兩式相減得 $x = 60$，代入得 $y = 40$。$P = 1200 \times 60 + 1000 \times 40 = 112000$； $D(0, 100)$：$P = 1000 \times 100 = 100000$。 4. 因為 $112000$ 為各頂點中的最大值，所以甲商品生產 $60$ 箱、乙商品生產 $40$ 箱時利潤最大，為 $112000$ 元。