101 指考數學乙第 12 題

Question

某公司生產兩種商品，均以同型的箱子裝運，其中甲商品每箱重 $20$ 公斤，乙商品每箱重 $10$ 公斤。公司出貨時，每趟貨車最多能運送 $100$ 箱，最大載重為 $1600$ 公斤。設甲商品每箱的利潤為 $1200$ 元，乙商品每箱的利潤為 $1000$ 元。

$(1)$ 設公司調配運送時，每趟貨車裏的甲商品為 $x$ 箱，乙商品為 $y$ 箱。試列出 $x,y$ 必須滿足的聯立不等式。（$2$ 分）

$(2)$ 當 $x,y$ 的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大？此時利潤為多少元？（$11$ 分）

Accepted Answer

答案：(1) $x+y\leq 100$，$20x+10y\leq 1600$，$x\geq 0$，$y\geq 0$（且 $x,y$ 為非負整數）；(2) $x=60,\ y=40$，最大利潤 $1120…
$(1)$ 聯立不等式：
$$\begin{cases}x+y\leq 100\20x+10y\leq 1600\x\geq 0,\ y\geq 0\end{cases}$$
整理第二式：$2x+y\leq 160$。

$(2)$ 目標函數 $P=1200x+1000y$，求其最大值。

求可行域頂點：
- 聯立 $x+y=100$ 與 $2x+y=160$：相減得 $x=60,\ y=40$，頂點 $C(60,40)$。
- 其他頂點：$A(0,0)$，$B(80,0)$（令 $y=0,2x=160$），$D(0,100)$（令 $x=0,y=100$）。

代入目標函數：
$$P_A…