101指考數學乙非選第11題詳解

配方：$f(x)=a(x+1)^2+(b-a)$，頂點在 $x=-1$（區間左端點）。 $f(-1)=b-a$，$f$(1)$=3a+b$。 1. 情形一：$a>0$（開口向上，頂點為最小值） $$\begin{cases}f(-1)=b-a=3 \\ f$(1)$=3a+b=7\end{cases}\implies 4a=4\implies a=1,\ b=4.$$ 驗算：$f(-1)=1-2+4=3\checkmark$，$f$(1)$=1+2+4=7\checkmark$。 2. 情形二：$a<0$（開口向下，頂點為最大值） $$\begin{cases}f(-1)=b-a=7 \\ f$(1)$=3a+b=3\end{cases}\implies 4a=-4\implies a=-1,\ b=6.$$ 驗算：$f(-1)=-1+2+6=7\checkmark$，$f$(1)$=-1-2+6=3\checkmark$。 因為上述推導，所以數對 $(a,b)$ 的所有可能值為 $(1,4)$ 或 $(-1,6)$。