101 指考數學乙第 10 題

Question

觀察 $2$ 的次方所形成的等比數列：$2,2^2,2^3,2^4,\ldots$，設其中出現的第一個 $13$ 位數為 $2^n$，則 $n=$____。（註：$\log_{10}2\approx 0.3010$）

Accepted Answer

答案：$40$
$2^n$ 為 $13$ 位數 $\Leftrightarrow 10^{12}\leq 2^n<10^{13}$
$$\Leftrightarrow 12\leq n\log_{10}2<13$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{12}{0.3010}\leq n<\dfrac{13}{0.3010}$$
$$\Leftrightarrow 39.87\leq n<43.19.$$

所以 $n$ 的最小整數值為 $n=40$，即第一個 $13$ 位數為 $2^{40}$。