91學測數學選填第17題詳解

我們按照比賽的每一輪計算發出的獎金： - 第 $1$ 輪：共 $128$ 人參賽，淘汰 $64$ 人。每人獲 $1$ 萬元，發出獎金 $64 \times 1 = 64$ 萬元。 - 第 $2$ 輪：剩 $64$ 人參賽，淘汰 $32$ 人。每人獲 $2$ 萬元，發出獎金 $32 \times 2 = 64$ 萬元。 - 依此類推，第 $k$ 輪被淘汰的人數為 $\dfrac{128}{2^k}$ 人，每人獲得 $2^{k-1}$ 萬元，發出獎金： $$\dfrac{128}{2^k} \times 2^{k-1} = 128 \times \dfrac{1}{2} = 64\text{ 萬元}$$ 因為 $128 = 2^7$，共有 $7$ 輪淘汰賽（第 $7$ 輪淘汰 $1$ 人即亞軍，獲 $2^6 = 64$ 萬元）。每一輪發出的淘汰獎金皆為 $64$ 萬元。 - 冠軍：最後剩下的 $1$ 人即冠軍，獲 $128$ 萬元。 因此全部比賽獎金總共為： $$\text{總獎金} = 7 \times 64 + 128 = 448 + 128 = 576\text{ 萬元}$$