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96指考數學甲單選第3題詳解

📅 96 年 📝 指考數學甲 第 3 題 題型：單選 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(5)$

本題考點：對數運算、等比數列、數列與級數、指數與對數

題目

設 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ 是一等比數列，其首項 $a_1 > 1$ 且公比 $r > 1$。坐標平面上有一質點 $M$ 自原點 $(0, 0)$ 出發，依以下規則連續移動十次：第一次移動往右 $\log a_1$ 單位，第二次移動向上 $\log a_2$ 單位，第三次移動往右 $\log a_3$ 單位，第四次移動向上 $\log a_4$ 單位，依此類推直到第十次；即第 $2k-1$ 次的移動是往右 $\log a_{2k-1}$ 單位，接著第 $2k$ 次的移動是向上 $\log a_{2k}$ 單位。已知經過這十次的移動後，該質點 $M$ 停在點 $(5 + 5\log 2, 5 + \dfrac{15}{2}\log 2)$ 的位置上，試問首項 $a_1$ 與公比 $r$ 組成的序對 $(a_1, r)$ 為以下哪一選項？
  1. $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$
  2. $(2\sqrt{2}, \sqrt{5})$
  3. $(2, \sqrt{2})$
  4. $(5, \sqrt{5})$
  5. $(5, \sqrt{2})$
對數運算等比數列數列與級數指數與對數
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$(5)$

詳解

詳解
令 $A=\log a_1$、$R=\log r$。因為 $a_n=a_1r^{n-1}$，所以 $$ \log a_n=A+(n-1)R. $$ 質點的水平位移使用奇數項，故 $$ 5+5\log2 =5A+(0+2+4+6+8)R =5A+20R. $$ 垂直位移使用偶數項，故 $$ 5+\frac{15}{2}\log2 =5A+(1+3+5+7+9)R =5A+25R. $$ 兩式相減得 $5R=\frac52\log2$，所以 $R=\frac12\log2$，即 $r=\sqrt2$。代回第一式： $$ 5A+10\log2=5+5\log2\implies A=1-\log2=\log5. $$ 因此 $a_1=5$，故序對為 $(5,\sqrt2)$，選 $(5)$。

題目來源：民國96年指考數學甲 第3題（來源PDF第3頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈96指考數學甲單選第3題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/096_07A_q03.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。