根據質點的移動規則，往右移動累積為 $x$ 坐標，向上移動累積為 $y$ 坐標。 十次移動中，往右移動在第 $1, 3, 5, 7, 9$ 次，向上移動在第 $2, 4, 6, 8, 10$ 次。 開為質點 $M$ 的最終 $x$ 坐標為： $$x_M = \log a_1 + \log a_3 + \log a_5 + \log a_7 + \log a_9 = \log (a_1 a_3 a_5 a_7 a_9)$$ 因為 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 為等比數列，代入可得： $$a_1 a_3 a_5 a_7 a_9 = a_1 \cdot (a_1 r^2) \cdot (a_1 r^4) \cdot (a_1 r^6) \cdot (a_1 r^8) = a_1^5 r^{2+4+6+8} = a_1^5 r^{20}$$ 故： $$x_M = \log (a_1^5 r^{20}) = 5\log a_1 + 20\log r = 5 + 5\log 2 \ \text{--- (式 1)}$$ 質點 $M$ 的最終 $y$ 坐標為： $$y_M = \log a_2 + \log a_4 + \log a_6 + \log a_8 + \log a_{10} = \log (a_2 a_4 a_6 a_8 a_{10})$$ 同樣代入等比數列通項公式： $$a_2 a_4 a_6 a_8 a_{10} = (a_1 r) \cdot (a_1 r^3) \cdot (a_1 r^5) \cdot (a_1 r^7) \cdot (a_1 r^9) = a_1^5 r^{1+3+5+7+9} = a_1^5 r^{25}$$ 故： $$y_M = \log (a_1^5 r^{25}) = 5\log a_1 + 25\log r = 5 + \dfrac{15}{2}\log 2 \ \text{--- (式 2)}$$ 我們解此聯立方程組： 將式 (2) 減去式 (1)： $$(5\log a_1 + 25\log r) - (5\log a_1 + 20\log r) = \left(5 + \dfrac{15}{2}\log 2\right) - (5 + 5\log 2)$$ $$5\log r = \dfrac{5}{2}\log 2 \implies \log r = \dfrac{1}{2}\log 2 = \log \sqrt{2} \implies r = \sqrt{2}$$ 將 $\log r = \dfrac{1}{2}\log 2$ 代回式 (1)： $$5\log a_1 + 20\left(\dfrac{1}{2}\log 2\right) = 5 + 5\log 2$$ $$5\log a_1 + 10\log 2 = 5 + 5\log 2 \implies 5\log a_1 = 5 - 5\log 2$$ $$\log a_1 = 1 - \log 2 = \log 10 - \log 2 = \log 5 \implies a_1 = 5$$ 因此，序對 $(a_1, r) = (5, \sqrt{2})$。 故選 $(5)$。