96指考數學甲單選第2題詳解

1. 先判斷絕對值內部多項式的正負號。因為當 $x\to1$ 時， $$ 3-3x-x^2\to3-3(1)-1^2=-1<0。 $$ 所以當 $x$ 足夠接近 $1$ 時，$3-3x-x^2<0$，其絕對值可以去掉並變號： $$ |3-3x-x^2|=-(3-3x-x^2)=x^2+3x-3。 $$ 2. 將上式代入原極限： $$ \begin{aligned} \lim_{x\to1}\frac{|3-3x-x^2|-1}{x-1} &=\lim_{x\to1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1}(x+4)=5。 \end{aligned} $$ 故選 $(4)$。