95指考數學甲非選第13題詳解

根據題意，神針的底圓半徑原為 $12$ 公分且以每秒 $1$ 公分的等速率縮短，故在時間 $t$ 秒時的半徑為： $$r(t) = 12 - t$$ 圓柱體的體積隨時間的函數為： $$V(t) = \pi r(t)^2 L(t) = \pi (12 - t)^2 (L_0 + 20t)$$ (1) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？ 已知當底圓半徑為 $10$ 公分時其體積最大，代入半徑公式： $$r(t) = 12 - t = 10 \implies t = 2\text{ 秒}$$ 故神針在變形開始 $2$ 秒時其體積最大。 --- (2) 試求定海神針原來的長度： 由 (1) 可知，體積函數 $V(t)$ 在 $t=2$ 時取得最大值，故在此點的導數 $V'(2) = 0$。 對 $V(t)$ 進行微分（利用乘法微分法則）： $$V'(t) = \pi \left[ 2(12-t)(-1)(L_0 + 20t) + (12-t)^2 (20) \right]$$ $$V'(t) = \pi (12-t) \left[ -2(L_0 + 20t) + 20(12-t) \right]$$ $$V'(t) = \pi (12-t) \left[ 240 - 2L_0 - 60t \right]$$ 代入 $t = 2$ 並令 $V'(2) = 0$： $$\pi (12-2) \left[ 240 - 2L_0 - 60(2) \right] = 0$$ $$10 \pi \left[ 120 - 2L_0 \right] = 0 \implies 2L_0 = 120 \implies L_0 = 60\text{ 公分}$$ 故定海神針原來的長度為 $60$ 公分。 --- (3) 試求金箍棒的長度： 將 $L_0 = 60$ 代入體積的導數公式： $$V'(t) = \pi (12-t)(120 - 60t) = 60\pi (12-t)(2-t)$$ 在變形範圍 $t \in [0, 8]$ 中，分析 $V(t)$ 的增減性： - 當 $t \in [0, 2)$ 時，$V'(t) > 0$，體積 $V(t)$ 單調增加； - 當 $t \in (2, 8]$ 時，$V'(t) < 0$，體積 $V(t)$ 單調減少。 體積的極小值（最小值）必然落在區間的端點 $t=0$ 或 $t=8$ 處。 我們分別計算兩端點的體積值： - $V(0) = \pi (12)^2 (60) = 8640\pi$ - $V(8) = \pi (4)^2 (60 + 20 \times 8) = 16 \times 220\pi = 3520\pi$ 由於 $3520\pi < 8640\pi$，因此體積最小值發生在 $t = 8$ 秒時。 此時，神針被定形成金箍棒，其長度為： $$L(8) = 60 + 20 \times 8 = 220\text{ 公分}$$ 故金箍棒的長度為 $220$ 公分。