(1) $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$，則 $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$。 依題意 $f(x) = \frac{1}{3} f'(x)(x+k) = (x^2 + \frac{2b}{3}x + \frac{c}{3})(x+k) = x^3 + (k + \frac{2b}{3})x^2 + (\frac{2bk}{3} + \frac{c}{3})x + \frac{ck}{3}$。 比較 $x^2$ 項係數：$b = k + \frac{2b}{3} \implies \frac{1}{3}b = k \implies b = 3k$。 (2) 比較 $x$ 項係數：$c = \frac{2bk}{3} + \frac{c}{3} \implies \frac{2}{3}c = \frac{2(3k)k}{3} = 2k^2 \implies c = 3k^2$。 則 $f'(x) = 3x^2 + 2(3k)x + 3k^2 = 3(x^2 + 2kx + k^2) = 3(x+k)^2$。 判別式 $D = (2b)^2 - 4(3)(c) = (6k)^2 - 12(3k^2) = 36k^2 - 36k^2 = 0$。 故 $f'(x) = 0$ 有重根 $x = -k$。 (3) 由 $f(x) = \frac{1}{3} f'(x)(x+k) = \frac{1}{3} \cdot 3(x+k)^2 \cdot (x+k) = (x+k)^3$。 已知 $f(-1) = 0$，則 $(-1+k)^3 = 0 \implies k = 1$。 故 $f(x) = (x+1)^3$。 計算積分： $$\int_0^1 (x+1)^3 dx = \left[ \frac{1}{4}(x+1)^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4}(2^4 - 1^4) = \frac{1}{4}(16 - 1) = \frac{15}{4}$$ 故填 $\frac{15}{4}$。