設二次函數為 $f(x) = -7x^2 + ax + \dfrac{1}{3}$。 因為二次項係數為 $-7 < 0$，所以此二次函數圖形為開口向下的拋物線。 已知此圖形與 $x$ 軸有兩個交點，且兩個交點都介於 $x = -1$ 與 $x = 1$ 之間。 我們觀察 $f(0)$ 的值： $$f(0) = \dfrac{1}{3} > 0$$ 因為 $f(0) > 0$，頂點必在 $x$ 軸上方，且拋物線開口向下，故其與 $x$ 軸的兩個交點必定分別位在 $y$ 軸的兩側（一正一負）。 在此幾何特徵下，兩個交點都落在開區間 $(-1, 1)$ 的充要條件是：當 $x = -1$ 與 $x = 1$ 時，其函數值皆為負數： 1. **$f(-1) < 0$**： $$-7(-1)^2 + a(-1) + \dfrac{1}{3} < 0 \implies -7 - a + \dfrac{1}{3} < 0 \implies a > -\dfrac{20}{3} \approx -6.67$$ 2. **$f(1) < 0$**： $$-7(1)^2 + a(1) + \dfrac{1}{3} < 0 \implies -7 + a + \dfrac{1}{3} < 0 \implies a < \dfrac{20}{3} \approx 6.67$$ 結合以上兩個不等式，整數 $a$ 的範圍為： $$-\dfrac{20}{3} < a < \dfrac{20}{3} \implies -6.67 < a < 6.67$$ 由於 $a$ 必須是整數，符合此條件的 $a$ 有： $$a \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ 滿足這樣條件的整數 $a$ 共有 $6 - (-6) + 1 = 13$ 個。 答案為 $13$。