我們來逐一分析各選項的幾何性質： * 選項 $(1)$：正確。若 $a > 0$，拋物線開口向上。當 $x$ 趨近於正無限大時，二次項佔主導地位，函數值 $y$ 亦會趨近於正無限大。由於圖形為連續曲線，故當 $x$ 為足夠大的正數時，$y > 0$，這表示拋物線必定會通過第一象限。 * 選項 $(2)$：錯誤。反例：設 $y = -x^2 - 1$。此時開口向下且頂點在 $(0, -1)$，整個圖形完全在 $x$ 軸下方（$y \le -1$），絕不會通過第一象限。 * 選項 $(3)$：錯誤。判別式 $b^2 - 4ac > 0$ 僅表示拋物線與 $x$ 軸有兩個相異交點。反例：設 $y = -x^2 - 4x - 3$，其判別式為 $(-4)^2 - 4(-1)(-3) = 4 > 0$。此拋物線開口向下，與 $x$ 軸交於 $x = -1, -3$，頂點在 $(-2, 1)$（第二象限）。當 $x > 0$ 時，函數值 $y = -x^2 - 4x - 3 < 0$，因此該圖形不通過第一象限。 * 選項 $(4)$：正確。拋物線與 $y$ 軸的交點為 $(0, c)$，當 $c > 0$ 時，交點位於 $y$ 軸正半軸上。由於拋物線為連續曲線，當 $x$ 由 $0$ 稍微往右移動（$x > 0$）時，函數值 $y$ 仍會大於 $0$，此區域即在第一象限內，因此拋物線必定通過第一象限。 * 選項 $(5)$：錯誤。反例：設 $y = -x^2 - 1$。此時 $c = -1 < 0$，如選項 $(2)$ 的反例，該圖形完全不通過第一象限。 故選 $(1)(4)$。