106指考數學乙多選第4題詳解

逐一分析各選項： 選項 $(1)$：若 $a>0$，拋物線開口向上。當 $x\to\infty$ 時，$y\to\infty$。因為圖形為連續曲線，所以存在足夠大的正數 $x$ 使得 $y>0$，即圖形通過第一象限。正確。 選項 $(2)$：反例：$y=-x^2-1$（$a=-1<0$、$c=-1$）。此時開口向下，頂點為 $(0,-1)$，圖形完全在 $x$ 軸下方，不通過第一象限。錯誤。 選項 $(3)$：$b^2-4ac>0$ 僅表示與 $x$ 軸有兩個交點。反例：$y=-x^2-4x-3$，判別式 $16-12=4>0$，開口向下，交 $x$ 軸於 $x=-1,-3$，當 $x>0$ 時 $y<0$，不通過第一象限。錯誤。 選項 $(4)$：若 $c>0$，則拋物線與 $y$ 軸交於 $(0,c)$，位於 $y$ 軸正半軸。因為圖形連續，當 $x$ 略大於 $0$ 時仍有 $y>0$（只要 $x$ 夠小），此即第一象限內的點。正確。 選項 $(5)$：反例同 $(2)$：$y=-x^2-1$，$c=-1<0$，不通過第一象限。錯誤。 故選 $(1)(4)$。