106指考數學乙多選第5題詳解

$a_n$ 為公比 $\frac{1}{2}$ 的等比數列，$a_1=1$，所以 $a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$。 等比數列收斂的條件是公比的絕對值小於 $1$。 選項 $(1)$：$-a_n=-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$，首項 $-1$，公比 $\frac{1}{2}$。因為 $|\frac{1}{2}|<1$，所以此數列收斂於 $0$。正確。 選項 $(2)$：$a_n^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2(n-1)}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$，公比 $\frac{1}{4}$。因為 $|\frac{1}{4}|<1$，所以收斂。正確。 選項 $(3)$：$\sqrt{a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)/2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$，公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。因為 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|<1$，所以收斂。正確。 選項 $(4)$：$\frac{1}{a_n}=2^{n-1}$，公比 $2$。因為 $|2|>1$，所以發散。錯誤。 選項 $(5)$：$\log a_n=\log\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=(n-1)\log\frac{1}{2}=-(n-1)\log 2$。此為等差數列，當 $n\to\infty$ 時 $\log a_n\to-\infty$，不收斂。錯誤。 故選 $(1)(2)(3)$。