已知等比數列一般項為： $$a_n = 1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$ 我們逐一檢驗各數列的收斂性： * 選項 $(1)$：正確。新數列為 $-1, -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4}, \dots$。這是一個首項為 $-1$，公比為 $\dfrac{1}{2}$ 的無窮等比數列。因為公比的絕對值 $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$，所以此數列收斂於 $0$。 * 選項 $(2)$：正確。新數列為 $1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{16}, \dots$。這是一個首項為 $1$，公比為 $\dfrac{1}{4}$ 的無窮等比數列。因為公比的絕對值 $\left|\dfrac{1}{4}\right| < 1$，所以此數列收斂於 $0$。 * 選項 $(3)$：正確。新數列為 $\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \dots, \sqrt{a_n}, \dots = \sqrt{1}, \sqrt{\dfrac{1}{2}}, \sqrt{\dfrac{1}{4}}, \dots = 1, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{2}, \dots$。這是一個公比為 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 的等比數列，因為 $\left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right| < 1$，故此數列收斂於 $0$。 * 選項 $(4)$：錯誤。新數列為 $1, 2, 4, 8, \dots$。這是一個首項為 $1$，公比為 $2$ 的無窮等比數列。因為公比的絕對值 $|2| > 1$，所以此數列發散。 * 選項 $(5)$：錯誤。新數列為 $\log 1, \log\left(\dfrac{1}{2}\right), \log\left(\dfrac{1}{4}\right), \dots = 0, -\log 2, -2\log 2, \dots$。這是一個首項為 $0$，公差為 $-\log 2 < 0$ 的等差數列。當 $n \to \infty$ 時，一般項趨近於負無限大，因此此數列發散。 故選 $(1)(2)(3)$。