109指考數學甲多選第5題詳解

考慮 $\theta = \sqrt{10001}$。因為 $100^2 = 10000$，所以 $\theta$ 的值約為 $100.005$，且 $\theta$ 為無理數。 選項 $(1)$：正確。 由高斯函數定義，$[a] \le a < [a] + 1$，所以 $a - 1 < [a] \le a$，對任意實數 $a$ 均成立。 選項 $(2)$：不正確。 因為由高斯函數性質 $n\theta - 1 < [n\theta] \le n\theta$，所以 $\theta - \frac{1}{n} < \frac{[n\theta]}{n} \le \theta$。由夾擠定理，$\lim\limits_{n\to\infty} b_n = \theta$，因此 $b_n$ 收斂而非發散。 選項 $(3)$：不正確。 同理，因為 $-n\theta - 1 < [-n\theta] \le -n\theta$，所以 $-\theta - \frac{1}{n} < \frac{[-n\theta]}{n} \le -\theta$。由夾擠定理，$\lim\limits_{n\to\infty} c_n = -\theta$，因此 $c_n$ 收斂而非發散。 選項 $(4)$：不正確。 因為當 $n > \theta$（即 $n \ge 101$）時，$0 < \frac{\theta}{n} < 1$，所以 $[\frac{\theta}{n}] = 0$，因此 $d_n = n \times 0 = 0$，數列收斂到 $0$ 而非發散。 選項 $(5)$：正確。 因為當 $n > \theta$（即 $n \ge 101$）時，$-1 < -\frac{\theta}{n} < 0$，所以 $[-\frac{\theta}{n}] = -1$，因此 $e_n = n \times (-1) = -n$，$\lim\limits_{n\to\infty} e_n = -\infty$，數列發散。 故選 $(1)(5)$。