108指考數學甲多選第6題詳解

已知 $a_n < b_n^2 < a_{n+1}$ 對所有正整數 $n$ 成立。這意味著： $a_1 < b_1^2 < a_2 < b_2^2 < a_3 < \dots < a_n < b_n^2 < a_{n+1} < \dots$ 數列 $\langle a_n \rangle$ 為嚴格遞增數列，且 $\underset{n \to \infty}{\lim} a_n = 4$。 (1) 雖然極限為 $4$，但 $a_1$ 可以是任何小於 $4$ 的實數（如 $0$），故 $a_n > 3$ 不一定成立。錯誤。 (2) 遞增數列趨近其極限 $4$，表示所有的 $a_n$ 都滿足 $a_n \le 4$，不可能大於 $4$。錯誤。 (3) 由上述不等式鏈可知 $b_n^2 < a_{n+1} < b_{n+1}^2$，故 $b_n^2 < b_{n+1}^2$ 恆成立。正確。 (4) 由於 $a_n < b_n^2 < a_{n+1}$ 且 $\underset{n \to \infty}{\lim} a_n = 4$，則 $\underset{n \to \infty}{\lim} a_{n+1} = 4$。根據夾擠定理，$\underset{n \to \infty}{\lim} b_n^2 = 4$。正確。 (5) $\underset{n \to \infty}{\lim} b_n^2 = 4$ 僅表示 $\underset{n \to \infty}{\lim} |b_n| = 2$。數列 $\langle b_n \rangle$ 的項可以在 $2$ 與 $-2$ 的附近跳動（例如 $b_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ 當 $n$ 為偶數，$b_n = -2 - \dfrac{1}{n}$ 當 $n$ 為奇數），此時 $\underset{n \to \infty}{\lim} b_n$ 不存在。錯誤。 正確選項為 $(3)(4)$。