108指考數學甲多選第7題詳解

由示意圖觀察 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2$ 在 $-2 \le x \le 1$ 範圍內的圖形。 選項 $(1)$：$a > 0$。 因為三次函數圖形的右端（$x$ 增大方向）為下降趨勢，所以領導係數 $a < 0$，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$b > 0$。 因為 $f''(x) = 6ax + 2b$，且 $f''(0) = 2b$。 由圖形觀察，在 $x = 0$ 附近曲線凹向上（斜率隨 $x$ 增加而增加），所以 $f''(0) > 0$， 得 $2b > 0$，即 $b > 0$，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$c > 0$。 因為 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$，且 $f'(0) = c$。 由圖形觀察，在 $y$ 軸截距 $(0, 2)$ 處切線斜率為正，所以 $c > 0$，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：方程式 $f(x) = 0$ 恰有三實根。 因為圖形在 $-2 \le x \le 1$ 範圍內的局部極大值與局部極小值皆在 $x$ 軸上方， 且右端向下延伸至負無窮，所以 $f(x) = 0$ 只有一個實根（在 $x > 1$ 的某處），$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$y = f(x)$ 圖形的反曲點的 $y$ 坐標為正。 因為圖中標示的反曲點 $A$ 位於 $x$ 軸上方，其 $y$ 坐標明顯為正，$(5)$ 正確。 故選 $(2)(3)(5)$。