107 指考數學甲第 13 題

Question

考慮三次多項式 $f(x)=-x^3-3x^2+3$。試回答下列問題。
$(1)$ 在坐標平面上，試描繪 $y=f(x)$ 的函數圖形，並標示極值所在點之座標。（$4$ 分）
$(2)$ 令 $f(x)=0$ 的實根為 $a_1,a_2,a_3$，其中 $a_1<a_2<a_3$。試求 $a_1,a_2,a_3$ 分別在哪兩個相鄰整數之間。（$2$ 分）
$(3)$ 承 $(2)$，試說明 $f(x)=a_1$、$f(x)=a_2$、$f(x)=a_3$ 各有幾個相異實根。（$4$ 分）
$(4)$ 試求 $f(f(x))=0$ 有幾個相異實根（註：$f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3$）。（$2$ 分）

Accepted Answer

答案：$(2) -3<a_1<-2, -2<a_2<-1, 0<a_3<1; (3) 1, 3, 3; (4) 7$
$(1)$ $f'(x)=-3x^2-6x=-3x(x+2)$，故臨界點為 $x=-2,0$。$f(-2)=-1$，$f(0)=3$，所以圖形有局部極小點 $(-2,-1)$ 與局部極大點 $(0,3)$。
$(2)$ 代入整數值：$f(-3)=3>0$、$f(-2)=-10$，故 $-20$、$f(1)=-13$ 時有 $1$ 個。由 $(2)$ 可知 $a_1<-1$，而 $-1<a_2<3$、$-1<a_3<3$，所以 $f(x)=a_1$ 有 $1$ 個相異實根，$f(x)=a_2$ 與 $f(x)=a_3$ 各有 $3$ 個相異實根。
$(4)$ $f(f(x))=0$ 等價於 $f…