107指考數學甲非選第13題詳解

$(1)$ 因為 $f(x)=-x^3-3x^2+3$，所以 $f'(x)=-3x^2-6x=-3x(x+2)$。令 $f'(x)=0$ 得 $x=-2$ 或 $x=0$。 計算函數值：$f(-2)=-(-8)-3(4)+3=8-12+3=-1$，$f(0)=3$。 因為 $f''(x)=-6x-6$，所以 $f''(-2)=6>0$（$x=-2$ 為局部極小），$f''(0)=-6<0$（$x=0$ 為局部極大）。 圖形為三次曲線，極值點為 $(-2,-1)$（局部極小）與 $(0,3)$（局部極大），$x\to\infty$ 時 $y\to-\infty$，$x\to-\infty$ 時 $y\to\infty$。 $(2)$ 代入整數值檢驗： $f(-3)=-(-27)-3(9)+3=27-27+3=3>0$ $f(-2)=-1<0$，因為 $f(-3)>0$ 且 $f(-2)<0$，所以 $-3<a_1<-2$。 $f(-1)=-(-1)-3(1)+3=1-3+3=1>0$，因為 $f(-2)<0$ 且 $f(-1)>0$，所以 $-2<a_2<-1$。 $f(0)=3>0$，$f(1)=-1-3+3=-1<0$，因為 $f(0)>0$ 且 $f(1)<0$，所以 $0<a_3<1$。 $(3)$ 由 $(1)$ 的圖形分析，$f(x)$ 為三次函數，有局部極小值 $-1$（在 $x=-2$）與局部極大值 $3$（在 $x=0$）。 水平線 $y=k$ 與圖形 $y=f(x)$ 的交點數為： $k<-1$ 時有 $1$ 個交點； $k=-1$ 時有 $2$ 個交點； $-1<k<3$ 時有 $3$ 個交點； $k=3$ 時有 $2$ 個交點； $k>3$ 時有 $1$ 個交點。 由 $(2)$ 知 $a_1<-1$、$-1<a_2<3$，且 $a_3$ 在 $-1$ 與 $3$ 之間： 因為 $a_1<-1$（即 $a_1$ 小於極小值），所以 $f(x)=a_1$ 有 $1$ 個相異實根。 因為 $a_2$ 在 $-1$ 與 $3$ 之間（即兩極值之間），所以 $f(x)=a_2$ 有 $3$ 個相異實根。 $(4)$ $f(f(x))=0$ 等價於 $f(x)=a_1$ 或 $f(x)=a_2$ 或 $f(x)=a_3$。由 $(3)$ 知 $f(x)=a_1$ 有 $1$ 個實根、$f(x)=a_2$ 有 $1$ 個實根、$f(x)=a_3$ 有 $3$ 個實根，且這些 $a_1,a_2,a_3$ 為相異實數，所以對應的解集合互不相交。因此 $f(f(x))=0$ 有 $1+1+3=5$ 個相異實根。 故 $ (2)$ $-3<a_1<-2$，$-2<a_2<-1$，$0<a_3<1$；$ (3)$ $1,1,3$；$ (4)$ $5$。