99指考數學甲單選第4題詳解

1. 由題圖可知，$y=f(x)$ 為嚴格遞增的三次函數。因為嚴格遞增，所以 $f'(x)>0$ 對所有 $x$ 恆成立（僅在反曲點處可能 $f'(x)=0$，但此圖形無水平切線）。 2. 已知 $(5,f(5))$ 為反曲點，因此 $f''(5)=0$。$f'(x)$ 為二次函數，其對稱軸即為 $x=5$。可設 $$f'(x)=k(x-5)^2+c$$ 其中 $k$ 決定開口方向，$c$ 為頂點的 $y$ 坐標。 3. 因為 $f'(x)>0$ 恆成立，所以二次函數圖形必須開口向上（$k>0$）且頂點在 $x$ 軸上方（$c>0$）。 4. 逐一檢查選項： - $(1)$ $(x-5)^2-1$：頂點在 $(5,-1)$，有部分為負，不符合。 - $(2)$ $(x-5)^2+1$：開口向上，頂點 $(5,1)>0$，符合。 - $(3)$ $(x-5)^2$：頂點在 $(5,0)$，$f'(5)=0$，但題圖無水平切線，不符合。 - $(4)$ $-(x-5)^2+1$：開口向下，不符合。 - $(5)$ $-(x-5)^2-1$：開口向下且恆負，不符合。 故選 $(2)$。