給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$，其跡 $\text{tr}(A) = a + (-a) = 0$，行列式 $\det(A) = -a^2 - bc = 1$。 根據凱萊-哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem）： $$A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)I = O \implies A^2 + I = O \implies A^2 = -I$$ 因為 $\det(A) = 1 \ne 0$，矩陣 $A$ 的逆矩陣 $A^{-1}$ 存在。在上式左右兩邊同乘 $A^{-1}$，得： $$A = -A^{-1} \implies A^{-1} = -A$$ 由此可得： $$A - A^{-1} = A - (-A) = 2A$$ 因此，其行列式值為： $$\det(A - A^{-1}) = \det(2A) = 2^2 \det(A) = 4 \times 1 = 4$$ 故選 $(4)$。