99指考數學乙非選第12題詳解

1. 令 $A=\begin{bmatrix}5 & -15\\-10 & 35\end{bmatrix}$，$X=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，則原方程式為 $AX=5I$。 2. 計算 $A$ 的行列式： $$\det(A)=5\times 35-(-15)\times(-10)=175-150=25\neq 0$$ 因為 $\det(A)\neq 0$，所以 $A$ 可逆。 3. $A$ 的反矩陣為 $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}35 & 15\\10 & 5\end{bmatrix} =\frac{1}{25}\begin{bmatrix}35 & 15\\10 & 5\end{bmatrix}$$ 4. 兩端左乘 $A^{-1}$： $$X=A^{-1}\cdot 5I=\frac{5}{25}\begin{bmatrix}35 & 15\\10 & 5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}$$ 5. 因此 $a=7$，$b=3$，$c=2$，$d=1$。密碼為 $7321$。