設 $A = \begin{bmatrix}5 & -15\\-10 & 35\end{bmatrix}$，方程為 $A \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} = 5I$。 計算 $\det(A) = 5 \times 35 - (-15) \times (-10) = 175 - 150 = 25 \neq 0$，故 $A$ 可逆。 $$A^{-1} = \dfrac{1}{25}\begin{bmatrix}35 & 15\\10 & 5\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} = A^{-1} \cdot 5I = \dfrac{5}{25}\begin{bmatrix}35 & 15\\10 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}$$ 驗算：$5 \times 7 + (-15) \times 2 = 35-30 = 5$ ✓，$5 \times 3 + (-15) \times 1 = 0$ ✓，$(-10) \times 7 + 35 \times 2 = 0$ ✓，$(-10) \times 3 + 35 \times 1 = 5$ ✓。 故密碼 $abcd = \mathbf{7321}$。