$(1)$ $20$ 以內的正奇數為 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$，共 $10$ 個。$a, b, c, d$ 各自獨立選取，共有 $10^4 = \mathbf{10000}$ 個不同的五次多項式。 $(2)$ 設 $p(x) = x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 3x + 2$。 整數根必整除常數項 $2$，候選值為 $\pm 1, \pm 2$。 - $p(1) = 1+3+5+7+3+2 = 21 \neq 0$ - $p(-1) = -1+3-5+7-3+2 = 3 \neq 0$ - $p(-2) = -32+48-40+28-6+2 = 0$ ✓ - $p(2) = 32+48+40+28+6+2 = 156 \neq 0$ 故 $x = -2$ 是一個整數根。作因式分解 $p(x) = (x+2)(x^4+x^3+3x^2+x+1)$。 令 $q(x) = x^4+x^3+3x^2+x+1$，再驗 $\pm 1, \pm 2$：均不為零。 故 $p(x)$ 的所有整數根為 $x = -2$。