99指考數學乙非選第11題詳解

(1) $20$ 以內的正奇數有 $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19$，共 $10$ 個。$a,b,c,d$ 各自從這 $10$ 個數中獨立選取，因此共有 $$10^4=10000\ \text{個}$$ 不同的五次多項式 $p(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+2$。 (2) 考慮 $p(x)=x^5+3x^4+5x^3+7x^2+3x+2$。由牛頓一次因式檢驗法，整數根必為常數項 $2$ 的因數，候選值為 $\pm 1,\pm 2$。 逐一檢驗： $$p(1)=1+3+5+7+3+2=21\neq 0$$ $$p(-1)=-1+3-5+7-3+2=3\neq 0$$ $$p(2)=32+48+40+28+6+2=156\neq 0$$ $$p(-2)=-32+48-40+28-6+2=0$$ 因為 $p(-2)=0$ 且 $x=-2$ 是唯一使 $p(x)=0$ 的整數，所以方程式 $p(x)=0$ 的整數根為 $x=-2$。