$f(x)=x^3-x$ 為奇函數。 $(1)$ $f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right)=\tfrac{1}{\sqrt2}\left(\tfrac12-1\right)<0$，錯。 $(2)$ $x^3-x=2\Rightarrow x^3-x-2=0$，代入整數皆不為 $0$，無整數解，錯。 $(3)$ $x^3-x=x^2+1\Rightarrow x^3-x^2-x-1=0$，三次方程必有實根，正確。 $(4)$ $x^3-x=x\Rightarrow x(x^2-2)=0\Rightarrow x=0,\pm\sqrt2$，非零解皆為無理數，錯。 $(5)$ $f$ 為奇函數，$f(-a)=-f(a)=-2\neq2$，錯。 故選 $(3)$。