93 指考數學甲第 5 題

Question

已知整係數多項式 $f(x)$ 滿足 $f(2)=f(4)=f(6)=0$，而且除了 $x=2,4,6$ 之外，$f(x)$ 的函數值恆正。下列選項有哪些必定是正確的？

Accepted Answer

答案：$(1)(3)(4)$
因 $f(x)$ 在 $x=2,4,6$ 以外恆正而在三點為零，故三點皆為**偶數重根**。

$(1)$：最小可能的形式為 $(x-2)^2(x-4)^2(x-6)^2$，次數為 $6$，**對**。

$(2)$：次數至少為 $6$（偶數），不必為奇數，**不必然對**。

$(3)$：$f(1)=(1-2)^2(1-4)^2(1-6)^2=1	imes 9	imes 25=225$，為奇數，**對**。

$(4)$：$x=4$ 為偶數重根，故 $f'(4)=0$，**對**。

故選 $(1)(3)(4)$。