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093_07A_q04
93 指考數學甲 第 4 題
📅 93 年
📝 指考數學甲
第 4 題
題型：多選
課綱：99課綱
設 $a>0$，令 $A(a)$ 表示 $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=a$ 與函數 $y=2+\sin x$ 的圖形所圍成的面積。下列選項有哪些是正確的？
$A(a+2\pi)=A(a)$ 恆成立。
$A(2\pi)=2A(\pi)$。
$A(4\pi)=2A(2\pi)$。
$A(3\pi)-A(2\pi)>A(2\pi)-A(\pi)$。
定積分面積計算
三角函數積分
微積分
微積分
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$(3)(4)$
詳解
$A(a)=\int_0^a(2+\sin x)\,dx=2a-\cos a+1$ $(1)$：$A(a+2\pi)-A(a)=4\pi\neq 0$，**錯**。 $(2)$：$A(2\pi)=4\pi-\cos 2\pi+1=4\pi$；$A(\pi)=2\pi-\cos\pi+1=2\pi+2$；$2A(\pi)=4\pi+4\neq A(2\pi)$，**錯**。 $(3)$：$A(4\pi)=8\pi-\cos 4\pi+1=8\pi$；$2A(2\pi)=8\pi$，相等，**對**。 $(4)$：$A(3\pi)=6\pi-\cos 3\pi+1=6\pi+2$，故 $A(3\pi)-A(2\pi)=2\pi+2$；而 $A(2\pi)-A(\pi)=4\pi-(2\pi+2)=2\pi-2$。因 $2\pi+2>2\pi-2$，**對**。 故選 $(3)(4)$。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。