93指考數學甲多選第3題詳解

依圖形與推導利用正四面體幾何圖。因 $P,Q$ 均在單位球面上，所以 $$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\right|=\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}\right|=1,$$ 且四個頂點向量的和為零。由正四面體的對稱性， $$ \cos\theta= \frac{\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}} {\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}\right|} =c=-\frac13. $$ $(1)$：因 $c=-\frac13\ne-\frac12$，所以 $\angle POQ\ne120^\circ$，錯。 $(2)$： $$a^2+b^2=1-c^2=1-\frac19=\frac89>\frac19=c^2,$$ 所以對。 $(3)$：只能確定 $Q$ 位於固定水平圓上，不能必定 $ab>0$，所以錯。 $(4)$：$c=-\frac13<0$，所以對。 故選 $(2)(4)$。