103指考數學甲多選第5題詳解

已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} = (2,2,1)$，計算 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| = \sqrt{4+4+1} = 3$。 $(1)$ 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$，所以 $(1)$ 正確。 $(2)$ 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 可取任意長度，內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 可為任意實數，錯誤。 $(3)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 必垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$，因此兩者夾角為 $90^\circ$，不等於 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的夾角，錯誤。 $(4)$ 若 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}| = 3|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$，因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta = 3|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta$，所以 $3|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta = 3|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$，得 $\sin\theta = 1$，即 $\theta = 90^\circ$，正確。 $(5)$ 若一個向量同時平行且垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$，則只能是零向量，正確。 因此正確選項為 $(1)$(4)$(5)$。