令 $t=3x-2$，則 $2(x+1)^n = 2 \left(\dfrac{t+5}{3}\right)^n = \dfrac{2}{3^n} (t+5)^n$。 由多項式除法原理，設 $2(x+1)^n = q_n(x)(3x-2)^n + R_n(x)$，其中商 $q_n(x) = \dfrac{2}{3^n}$，餘式 $R_n(x)$ 的次數小於 $n$。 餘式的常數項為 $r_n = R_n(0)$，代入 $x=0$： $$2(0+1)^n = q_n(0)(3(0)-2)^n + R_n(0) \Rightarrow 2 = \dfrac{2}{3^n} (-2)^n + r_n \Rightarrow r_n = 2 - 2 \left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.$$ 當 $n \to \infty$ 時，由於 $\left| -\dfrac{2}{3} \right| < 1$，$\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$，故 $$\lim_{n\to\infty} r_n = 2 - 0 = 2.$$ 答案為選項 $(3)$。