90學測數學選填第14題詳解

由多項式除法原理可得： $$f(x) = (x^2-5x+4)Q_1(x) + x + 2 = (x-1)(x-4)Q_1(x) + x + 2 \implies f(1) = 3 \ \ \cdots(1)$$ $$f(x) = (x^2-5x+6)Q_2(x) + 3x + 4 = (x-2)(x-3)Q_2(x) + 3x + 4 \implies f(3) = 13 \ \ \cdots(2)$$ 設 $f(x)$ 除以 $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$ 的餘式為 $ax+b$： $$f(x) = (x-1)(x-3)Q_3(x) + ax + b \ \ \cdots(3)$$ 將 $x=1$ 與 $x=3$ 分別代入 $(3)$ 式中，並配合 $(1)$、$(2)$ 的結果可得： $$\begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + b = 13 \end{cases}$$ 解此二元一次聯立方程式，得 $a = 5$，$b = -2$。 因此，餘式為 $5x - 2$。