90 學測數學第 15 題

Question

兩條公路 $k$ 及 $m$，如果筆直延伸將交會於 $C$ 處成 $60^\circ$ 夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在兩公路各距 $C$ 處 $450$ 公尺的 $A$、$B$ 兩點間開拓成圓弧型公路，使 $k, m$ 分別在 $A, B$ 與此圓弧相切，則此圓弧長為 $\underline{\hspace{2cm}}$ 公尺。(公尺以下四捨五入 ) 【 $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\pi \approx 3.142$ 】

Accepted Answer

答案：$544$
自切點 $A$ 與 $B$ 作切線的垂直線交於圓心 $O$，並連接 $OC$。設圓半徑為 $R = \overline{OA}$，$\Delta OAC$ 為直角三角形。
在 $\Delta OAC$ 中，$\overline{AC} = 450$ 且 $\angle OCA = 30^\circ$（為交角的一半），由此可求得半徑：
$$R = \overline{OA} = 450 	an 30^\circ = \dfrac{450}{\sqrt{3}} = 150\sqrt{3} 	ext{ 公尺}$$
又圓弧對應的圓心角 $\angle AOB = 180^\circ - 60^\c…