90學測數學選填第16題詳解

摺起後的四角錐頂點記為 $O$，底面正方形記為 $ABCD$，其中心點記為 $H$。頂點 $O$ 投影到底面的投影點即為中心 $H$，高度即為 $h = \overline{OH}$。 取邊 $\overline{AB}$ 的中點 $M$，連接 $\overline{OM}$ 與 $\overline{MH}$。可知 $\overline{OM} \perp \overline{AB}$ 且 $\overline{MH} = 1$（邊長的一半）。 1. 在直角三角形 $\Delta OAM$ 中： $$\overline{OM} = \sqrt{\overline{OA}^2 - \overline{AM}^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$$ 2. 在直角三角形 $\Delta OMH$ 中： $$\overline{OH} = \sqrt{\overline{OM}^2 - \overline{MH}^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 - 1^2} = \sqrt{14}$$ 故此四角錐高度為 $\sqrt{14}$。