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090_02M_q18
90 學測數學 第 18 題
📅 90 年
📝 學測數學
第 18 題
題型：選填
課綱：99課綱
將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個正八面體，如下圖所示。如果原四面體 $ABCD$ 的體積為 $12$，那麼此正八面體的體積為 $\underline{\hspace{2cm}}$。
空間概念與圓錐曲線
空間幾何
空間向量與空間中的直線與平面
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$6$
詳解
四個小正四面體的邊長分別為原來大正四面體邊長的 $\dfrac{1}{2}$。 由相似立體圖形體積比等於邊長比的三次方，得每個小正四面體的體積是原大四面體體積的： $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$ 中間正八面體的體積等於大正四面體體積扣除四個頂角的四個小正四面體體積： $$\text{正八面體體積} = V_{\text{大}} - 4 \times V_{\text{小}} = 12 - 4 \times \left(12 \times \dfrac{1}{8}\right) = 12 - 6 = 6$$
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。
