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90學測數學選填第18題詳解

📅 90 年 📝 學測數學 第 18 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$6$

本題考點：圓、四面體、空間向量與空間中的直線與平面、公式代入

題目

將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個正八面體，如下圖所示。如果原四面體 $ABCD$ 的體積為 $12$，那麼此正八面體的體積為 $\answerblank{}$。
090_02M_q18_fig01
圓四面體空間向量與空間中的直線與平面
解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

答案

$6$

詳解

詳解
四個小正四面體的邊長分別為原來大正四面體邊長的 $\dfrac{1}{2}$。 由相似立體圖形體積比等於邊長比的三次方，得每個小正四面體的體積是原大四面體體積的： $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$ 中間正八面體的體積等於大正四面體體積扣除四個頂角的四個小正四面體體積： $$\text{正八面體體積} = V_{\text{大}} - 4 \times V_{\text{小}} = 12 - 4 \times \left(12 \times \dfrac{1}{8}\right) = 12 - 6 = 6$$

題目來源：民國90年學測數學 第18題（來源PDF第7頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈90學測數學選填第18題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/090_02M_q18.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。