球心為 $O(0,0,0)$。 $A(1,2,2)$ 的長度為 $\overline{OA} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$。 $B(2,-2,1)$ 的長度為 $\overline{OB} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$。 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 的夾角為 $\theta$。其內積為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = 1 \times 2 + 2 \times (-2) + 2 \times 1 = 0$$ 因為內積為 $0$，故夾角 $\theta = 90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ 弧度。 地球半徑 $R = 6400$ 公里。最短航線即為大圓弧長： $$S = R \theta = 6400 \times \dfrac{\pi}{2} = 3200\pi \approx 3200 \times 3.14159 = 10053\text{ 公里}$$ 比對各選項，最接近 $10000$ 公里。故選 $(5)$。