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95學測數學選填第13題詳解

📅 95 年 📝 學測數學 第 13 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$\dfrac{4}{15}$

本題考點：分點公式、向量內積、空間坐標、空間向量與空間中的直線與平面

題目

下圖為一正立方體，若 $M$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，$\overline{BM}=2\overline{AM}$，$N$ 為線段 $\overline{BC}$ 之中點，則 $\cos \angle MON =$ ____$\sqrt{10}$。（分數要化成最簡分數）
題目附圖
題目附圖
分點公式向量內積空間坐標空間向量與空間中的直線與平面
解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

答案

$\dfrac{4}{15}$

答案卡第17格為分子 4，第15、16格為分母 15，對應 (4/15)√10。

詳解

詳解
因為相似縮放不影響夾角，令立方體邊長為 6 並取 $O=(0,0,0)$，可設 $M=(2,0,6)$、$N=(6,3,6)$。兩向量內積為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OM}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{ON}=2\times6+0\times3+6\times6=48.$$ 所以先計算兩向量的長度： $$|\overset{\large\rightharpoonup}{OM}|=\sqrt{2^2+0^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10},$$ $$|\overset{\large\rightharpoonup}{ON}|=\sqrt{6^2+3^2+6^2}=\sqrt{81}=9.$$ 因此 $$\cos\angle MON=\dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{OM}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{ON}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{OM}|\,|\overset{\large\rightharpoonup}{ON}|}=\dfrac{48}{2\sqrt{10}\times9}=\dfrac{48}{18\sqrt{10}}=\dfrac{4}{15}\sqrt{10}.$$

題目來源：民國95年學測數學 第13題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈95學測數學選填第13題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/095_02M_q13.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。