設立方體邊長為 $6$，以頂點 $O$ 為原點 $(0,0,0)$ 建立空間直角坐標系，其中三條從 $O$ 出發的稜線方向分別為 $x, y, z$ 軸。各點坐標為： - $A(0,0,6)$、$B(6,0,6)$、$C(6,6,6)$ - $M$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{BM} = 2\overline{AM}$，故 $M$ 為 $(2,0,6)$。 - $N$ 在線段 $\overline{BC}$ 上，且 $N$ 為中點，故 $N$ 為 $(6,3,6)$。 我們求 $\overset{\large\rightharpoonup}{OM}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{ON}$ 的夾角餘弦值： - $\overset{\large\rightharpoonup}{OM} = (2,0,6)$，其長度 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OM}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。 - $\overset{\large\rightharpoonup}{ON} = (6,3,6)$，其長度 $|\overset{\large\rightharpoonup}{ON}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{81} = 9$。 - 內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{OM} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{ON} = 2 \times 6 + 0 \times 3 + 6 \times 6 = 12 + 36 = 48$。 根據夾角公式： $$\cos \angle MON = \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{OM} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{ON}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{OM}| |\overset{\large\rightharpoonup}{ON}|} = \dfrac{48}{2\sqrt{10} \times 9} = \dfrac{48}{18\sqrt{10}} = \dfrac{8}{3\sqrt{10}} = \dfrac{4}{15}\sqrt{10}$$ 對照格式，分子 ⑰ 為 $4$，分母 ⑮⑯ 為 $15$。