114學測數學B選填第16題詳解

設坐標：以牆角 $O$ 為原點，三稜為坐標軸，取 $A=(20,0,0)$，$B=(0,20,0)$，$C=(0,0,10)$。 計算向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=B-A=(-20,20,0),\; \overset{\large\rightharpoonup}{AC}=C-A=(-20,0,10).$$ 計算內積與長度： \begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AC}&=(-20)(-20)+20\cdot0+0\cdot10=400,\\[2pt] |\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|&=\sqrt{(-20)^2+20^2+0^2}=\sqrt{800}=20\sqrt{2},\\[2pt] |\overset{\large\rightharpoonup}{AC}|&=\sqrt{(-20)^2+0^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}. \end{aligned} 因此 $$\cos\angle CAB=\frac{400}{20\sqrt{2}\cdot10\sqrt{5}}=\frac{400}{200\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.$$ 因為 $\sin^2\angle CAB=1-\cos^2\angle CAB=1-\frac{4}{10}=\frac{3}{5}$，所以 $\sin\angle CAB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。 因此 $$\tan\angle CAB=\frac{\sin\angle CAB}{\cos\angle CAB} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{10}}} =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{10}}{2} =\frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$ 故填 $\frac{\sqrt{6}}{2}$。