114 學測數學B 第 16 題

Question

教室的某牆角是由牆面和地面兩兩互相垂直所構成。設牆角為點 $O$，現有一個三角形擋板 $ABC$，其中頂點 $A,B,C$ 位在牆面間或牆面與地面間的交界線上，並與牆角 $O$ 的距離分別為 $20,20,10$ 公分；$\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 三邊與牆面或地面貼合，如圖所示。則 $	an\angle CAB=$____。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
取互相垂直的三軸，令 $A=(20,0,0)$，$B=(0,20,0)$，$C=(0,0,10)$。則 $\overline{AB}$ 對應向量 $(-20,20,0)$，$\overline{AC}$ 對應向量 $(-20,0,10)$。由內積得 $\cos\angle CAB=\dfrac{400}{20\sqrt{2}\cdot10\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$，故 $	an\angle CAB=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。