114 學測數學B 第 17 題

Question

某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的 LED 燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：紅色：「亮 $3$ 秒，再暗 $1$ 秒，再亮 $2$ 秒」；綠色：「亮 $6$ 秒，再暗 $2$ 秒」；藍色：「亮 $k$ 秒，再暗 $(15-k)$ 秒」，其中 $k$ 為正整數。若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則 $k$ 的最小值為 ____。

Accepted Answer

答案：$13$
紅燈週期 $6$ 秒，暗在 $[3,4)$；綠燈週期 $8$ 秒，暗在 $[6,8)$。在最小公倍數 $24$ 秒內，紅綠同暗出現在 $[15,16)$，所以於 $120$ 秒週期內為 $[15,16)$、$[39,40)$、$[63,64)$、$[87,88)$、$[111,112)$。藍燈每週期暗在 $[k+15j,15+15j)$。逐一檢查正整數 $k$，$k\le12$ 會與上述某段重疊，而 $k=13$ 時不重疊，故最小值為 $13$。