平面通過 $O(0,0,0)$，而 $O$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的球心，所以交圓 $C$ 是半徑 $1$ 的大圓。且 $N=(0,0,1)$、$P=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{11}}{4},-\dfrac{1}{2}\right)$ 皆在單位球上，$N\cdot P=-\dfrac{1}{2}$。故劣弧所對圓心角為 $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$。弧長為 $1\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2}{3}\pi$，答案為 $\dfrac{2}{3}$。