92 學測數學第 15 題

Question

設 $P$ 為雙曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 上的一點且位在第一象限。若 $F_1$、$F_2$ 為此雙曲線的兩個焦點，且 $\overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3$，則 $	riangle F_1 P F_2$ 的周長等於____

Accepted Answer

答案：22
對雙曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$，有 $a=3$、$b=4$，故 $c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，所以 $F_1F_2=2c=10$。雙曲線上點到兩焦點距離差的絕對值為 $2a=6$。又 $PF_1:PF_2=1:3$，設兩距離為 $t$ 與 $3t$，則 $3t-t=6$，得 $t=3$。因此兩距離為 $3$ 與 $9$，周長為 $3+9+10=22$。