92 學測數學第 14 題

Question

設 $A(1,0)$ 與 $B(b,0)$ 為坐標平面上的兩點，其中 $b>1$。若拋物線 $\Gamma: y^2=4x$ 上有一點 $P$ 使得 $	riangle ABP$ 為一正三角形，則 $b=$____

Accepted Answer

答案：5
$AB=b-1$。正三角形第三點 $P$ 的坐標為 $\left(\dfrac{b+1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-1)\right)$。代入 $y^2=4x$，得 $\dfrac{3}{4}(b-1)^2=4\cdot\dfrac{b+1}{2}=2(b+1)$。整理得 $3b^2-14b-5=0$，所以 $b=5$ 或 $b=-\dfrac{1}{3}$。由 $b>1$，得 $b=5$。