92 學測數學第 18 題

Question

在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 $6$ 公尺，且距底部 $\dfrac{3}{2}$ 公尺高處其寬為 $5$ 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為 ____ 公尺。（化成最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{54}{11}$
令拱門底部中央為原點，最高點為 $(0,h)$，拋物線設為 $y=h-ax^2$。底部寬 $6$ 表示 $y=0$ 時 $x=\pm3$，故 $0=h-9a$，所以 $a=\dfrac{h}{9}$。距底部 $\dfrac{3}{2}$ 公尺高處寬為 $5$，表示 $x=\pm\dfrac{5}{2}$ 時 $y=\dfrac{3}{2}$。代入得 $\dfrac{3}{2}=h-\dfrac{h}{9}\cdot\dfrac{25}{4}=\dfrac{11}{36}h$，故 $h=\dfrac{54}{11}$。