93 學測數學第 20 題

Question

在坐標平面上，設直線 $L$：$y = x + 2$ 與拋物線 $\Gamma$：$x^2 = 4y$ 相交於 $P$、$Q$ 兩點。若 $F$ 表拋物線 $\Gamma$ 的焦點，則 $\overline{PF} + \overline{QF} =$ ____。

Accepted Answer

答案：10
拋物線 $x^2 = 4y$ 的焦點 $F = (0, 1)$，準線 $y = -1$。

根據拋物線定義，拋物線上的點到焦點的距離等於到準線的距離：
$$\overline{PF} = y_P + 1, \; \overline{QF} = y_Q + 1$$

將 $y = x + 2$ 代入 $x^2 = 4y$：
$$x^2 = 4(x + 2) \implies x^2 - 4x - 8 = 0$$

由韋達定理：
$$x_P + x_Q = 4, \; x_P \cdot x_Q = -8$$

因為 $y = x + 2$，所以：
$$y_P + y_Q = (x_P + 2) …