因為 $AE$ 為圓的直徑，且弧長 $\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DE}$，代表這四個等弧平分了半圓。 半圓心角為 $180^\circ$，故每個弧所對應的圓心角為 $180^\circ / 4 = 45^\circ$。 即 $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle DME = 45^\circ$。 極坐標中，長度為 $8$，方向角為 $\alpha$ 的向量可表示為 $8(\cos \alpha, \sin \alpha)$。 已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{MD}$ 的方向角為 $\theta - 90^\circ$： - $C$ 比 $D$ 更靠近 $A$（順著半圓等分點方向，角度增加），故其方向角為 $(\theta - 90^\circ) + 45^\circ = \theta - 45^\circ$， 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{MC} = 8(\cos(\theta - 45^\circ), \sin(\theta - 45^\circ))$，$(2)$ 對。 - $B$ 的方向角為 $(\theta - 45^\circ) + 45^\circ = \theta$，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{MB} = 8(\cos \theta, \sin \theta)$。 - $A$ 的方向角為 $\theta + 45^\circ$，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{MA} = 8(\cos(\theta + 45^\circ), \sin(\theta + 45^\circ))$，$(1)$ 錯。 - $(3)$ 錯：$\overset{\large\rightharpoonup}{MA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{MA} = \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{MA}\right\|^2 = 8^2 = 64$。 - $(4)$ 對：$\angle BMD = \angle BMC + \angle CMD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$。兩向量垂直，其內積為 $0$。 - $(5)$ 錯：$\overset{\large\rightharpoonup}{BD} = \overset{\large\rightharpoonup}{MD} - \overset{\large\rightharpoonup}{MB} = 8(\cos(\theta - 90^\circ) - \cos \theta, \sin(\theta - 90^\circ) - \sin \theta)$。選項方向顛倒。 因此正確的選項為 $(2)(4)$。