104學測數學多選第9題詳解

因為 $\overline{AE}$ 為圓的直徑，且四個弧長 $\overset{\huge\frown}{AB}=\overset{\huge\frown}{BC}=\overset{\huge\frown}{CD}=\overset{\huge\frown}{DE}$，代表這四個弧平分了半圓。半圓心角為 $180^\circ$，故每個弧所對應的圓心角為 $45^\circ$。 已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{MD}$ 的方向角為 $\theta + 90^\circ$。由圖上順序 $A,B,C,D,E$ 可知，從 $A$ 到 $D$ 每前進一個等弧，方向角增加 $45^\circ$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{MC}$ 的方向角為 $\theta + 45^\circ$，$\overset{\large\rightharpoonup}{MB}$ 的方向角為 $\theta$，$\overset{\large\rightharpoonup}{MA}$ 的方向角為 $\theta - 45^\circ$。 因此 $(2)$ 正確，$(1)$ 錯誤。 - $(3)$ 錯：$\overset{\large\rightharpoonup}{MA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{MA} = |\overset{\large\rightharpoonup}{MA}|^2 = 8^2 = 64$，不是 $8$。 - $(4)$ 對：$\overset{\large\rightharpoonup}{MB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{MD}$ 的方向角相差 $90^\circ$，兩向量垂直，內積為 $0$。 - $(5)$ 錯： $$\overset{\large\rightharpoonup}{BD}=\overset{\large\rightharpoonup}{MD}-\overset{\large\rightharpoonup}{MB}=8(\cos(\theta+90^\circ)-\cos\theta,\sin(\theta+90^\circ)-\sin\theta)$$ 不是選項所列的和。 因此正確的選項為 $(2)(4)$。