$|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=\sqrt{4+5}=3$。與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 垂直且等長者為將 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 旋轉 $\pm90^\circ$，得 $(\sqrt5,-2)$ 或 $(-\sqrt5,2)$。 $(1)$ 正確。 $(2)$ $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2=|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2+|\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2=18=|\overset{\large\rightharpoonup}{v}-\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2$（因 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{w}$），等長，正確。 $(3)$ 因 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 且等長，$\overset{\large\rightharpoonup}{v}+\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 夾角為 $45^\circ$，非 $135^\circ$，錯。 $(4)$ $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|^2=a^2|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2+b^2|\overset{\large\rightharpoonup}{w}|^2=9(a^2+b^2)$，故 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|=3\sqrt{a^2+b^2}$，錯。 $(5)$ 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{w}$，取內積 $(1,0)\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=c|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2$，得 $c=\dfrac29>0$，正確。 故選 $(1)(2)(5)$。