漸近線為 $y = \pm x$ 代表這是一條等軸（直角）雙曲線。 - $(1)$ 對：其標準方程式為 $x^2 - y^2 = c$ 或 $y^2 - x^2 = c$ ($c > 0$)。可寫為 $\dfrac{x^2}{r^2} - \dfrac{y^2}{r^2} = 1$ 或 $\dfrac{y^2}{r^2} - \dfrac{x^2}{r^2} = 1$，其中 $r$ 為非零實數。 - $(2)$ 對：因為方程式中 $a = b = r$，故貫軸長 $2a$ 與共軛軸長 $2b$ 相等。 - $(3)$ 錯：若雙曲線為 $y^2 - x^2 = r^2$，第一象限上的點滿足 $b = \sqrt{a^2 + r^2} > a$，故對任意點 $(a, b)$ 均有 $a - b < 0$。此選項不恆成立。 - $(4)$ 對：在第一象限： 若為 $x^2 - y^2 = r^2$，則 $b = \sqrt{a^2 - r^2}$，為單調遞增函數，故 $a' > a \implies b' > b$； 若為 $y^2 - x^2 = r^2$，則 $b = \sqrt{a^2 + r^2}$，亦為單調遞增函數，故 $a' > a \implies b' > b$。 - $(5)$ 對：雙曲線對稱於對稱軸（$x$ 軸與 $y$ 軸）。 因此正確的選項為 $(1)(2)(4)(5)$。