雙曲線 $\Gamma$ 通過第一象限的漸近線為 $L: y = \dfrac{b}{a} x \implies x = \dfrac{a}{b} y$。 動點 $(t^2, t)$ 的軌跡方程式為：$x = y^2$（其中 $y = t > 0$）。 1. 求與漸近線 $L$ 的交點： 令 $y^2 = \dfrac{a}{b} y$，因 $y > 0$，得 $y_L = \dfrac{a}{b}$。 因為 $y_L$ 有唯一的正實數解，故動點必會碰到漸近線 $L$。 2. 求與雙曲線 $\Gamma$ 的交點： 將 $x = y^2$ 代入雙曲線方程式 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 得： $$\dfrac{y^4}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0$$ 設 $Y = y^2 > 0$，方程式為 $\dfrac{1}{a^2} Y^2 - \dfrac{1}{b^2} Y - 1 = 0$。 因常數項為負，此二次方程式必有唯一正實根 $Y_\Gamma$。 因此 $y_\Gamma = \sqrt{Y_\Gamma}$ 有唯一正實數解，故動點也必會碰到雙曲線 $\Gamma$。 3. 比較碰到的先後順序（即比較 $y_L$ 與 $y_\Gamma$ 的大小）： 由 $\dfrac{y_\Gamma^4}{a^2} - \dfrac{y_\Gamma^2}{b^2} - 1 = 0 \implies y_\Gamma^4 = a^2 \left( 1 + \dfrac{y_\Gamma^2}{b^2} \right) > \dfrac{a^2}{b^2} y_\Gamma^2 \implies y_\Gamma^2 > \dfrac{a^2}{b^2} \implies y_\Gamma > \dfrac{a}{b} = y_L$。 故 $y_L < y_\Gamma$。當時間 $t$ 增加時，$y = t$ 漸增，因此動點會先碰到 $L$，再碰到 $\Gamma$。 故選 $(5)$。