106 學測數學第 2 題

Question

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數 $a$ 後，螢幕上的數會變成 $2^a$。當一開始時螢幕上的數 $b$ 為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 $3^{81}$。試問實數 $b$ 最接近下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：$(2)$
一開始螢幕上的數為 $b$，
點擊一次後變為 $2^b$；
點擊兩次後變為 $2^{2^b}$；
點擊三次後變為 $2^{2^{2^b}}$。
根據題意：
$$2^{2^{2^b}} \approx 3^{81}$$
兩邊取以 $2$ 為底的對數：
$$2^{2^b} \approx \log_2(3^{81}) = 81 \log_2 3 \approx 81 	imes 1.585 = 128.385 \approx 128 = 2^7$$
進一步得到：
$$2^b \approx 7 \implies b \approx \log_2 7 \approx 2.8$$
實數 $b$ 最接…