101學測數學多選第13題詳解

$\Gamma$ 為滿足 $|\overline{PF_1} - \overline{PF_2}| = d$ 的點 $P$ 的軌跡。 1. 當 $d = 0$ 時：$\overline{PF_1} = \overline{PF_2}$，所以 $\Gamma$ 為 $F_1F_2$ 的中垂線（一直線）。$(1)$ 正確。 2. 當 $0 < d < 4$ 時：因為兩焦點距離為 $4$，所以 $\Gamma$ 為雙曲線。$d = 1$ 滿足此條件。$(2)$ 正確。 3. 當 $d = 2$ 時：$a = \frac{d}{2} = 1$，焦點到中心距離 $c = 2$。圓 $C$ 半徑 $6$，中心在 $F_1$。因為圓半徑 $6$ 夠大，雙曲線與圓相交於 $4$ 點，而非 $3$ 點，所以 $(3)$ 錯誤。 4. 當 $d = 4$ 時：$\Gamma$ 為兩射線，與圓 $C$ 相交於 $2$ 點，所以 $(4)$ 錯誤。 5. 當 $d = 8 > 4$ 時：因為 $d$ 大於兩焦點距離，所以無任何點滿足條件。$(5)$ 正確。 故選 $(1)$(2)$(5)$。