本題考查雙曲線的幾何定義與交點判定。給定焦點距離 $\overline{F_1F_2} = 2c = 4$： 1. **當 $d = 0$ 時**： $\left| \overline{PF_1} - \overline{PF_2} \right| = 0 \implies \overline{PF_1} = \overline{PF_2}$，其圖形為線段 $F_1F_2$ 的垂直平分線（直線）。故選項 $(1)$ 正確。 2. **當 $d = 1$ 時**： 因為 $0 < d < 4$（即 $0 < d < 2c$），符合雙曲線的定義，故其圖形為以 $F_1, F_2$ 為焦點的雙曲線。故選項 $(2)$ 正確。 3. **當 $d = 2$ 時**： $\Gamma$ 為雙曲線且其貫軸長 $2a = 2 \implies a = 1$。中心到頂點距離為 $1$，中心到焦點距離 $c = 2$。 以 $F_1$ 為圓心、$6$ 為半徑的圓 $C$，由於焦點 $F_1$ 到雙曲線兩支的頂點距離分別為 $c-a = 1$ 與 $c+a = 3$，而圓的半徑 $6 > 3$，因此圓 $C$ 會與雙曲線的左右兩支各交於兩點，共計 $4$ 個交點。故選項 $(3)$ 錯誤。 4. **當 $d = 4$ 時**： $d = 2c = 4$，此時 $\Gamma$ 退化為以 $F_1$、 $F_2$ 為起點向外延伸的兩條射線。此兩條射線與圓 $C$ 僅交於兩點。故選項 $(4)$ 錯誤。 5. **當 $d = 8$ 時**： 因為 $d = 8 > 2c = 4$，根據三角形兩邊之差小於第三邊的原理，平面上不存在任何點滿足此條件。故圖形 $\Gamma$ 不存在，選項 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確選項為 $(1), (2), (5)$。