由廣義角三角函數的定義： 1. **求點 $P$ 的 $x$ 坐標**： $$\tan \theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{3}$$ 已知 $P$ 點的 $y$ 坐標為 $-4$，代入可得： $$\dfrac{-4}{x} = \dfrac{2}{3} \implies 2x = -12 \implies x = -6$$ 所以點 $P$ 的坐標為 $(-6, -4)$，其 $x$ 坐標為 $-6$。故選項 $(1)$ 錯誤。 2. **求 $OP$ 的長度**： $$OP = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ 故選項 $(2)$ 正確。 3. **求 $\cos \theta$ 的值**： 因為 $P$ 點在第三象限，其餘弦值為負值： $$\cos \theta = \dfrac{x}{OP} = \dfrac{-6}{2\sqrt{13}} = -\dfrac{3}{\sqrt{13}}$$ 故選項 $(3)$ 錯誤。 4. **判斷 $\sin 2\theta$ 的正負**： 由倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$。 因為 $\theta$ 為第三象限角，$\sin\theta < 0$ 且 $\cos\theta < 0$，兩者相乘為正數，故： $$\sin 2\theta = 2 \left(-\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right) \left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right) = \dfrac{12}{13} > 0$$ 故選項 $(4)$ 正確。 5. **判斷 $\cos \dfrac{\theta}{2}$ 的正負**： 因為 $180^\circ < \theta < 270^\circ \implies 90^\circ < \dfrac{\theta}{2} < 135^\circ$。 此時 $\dfrac{\theta}{2}$ 位於第二象限，其餘弦值為負，即 $\cos \dfrac{\theta}{2} < 0$。故選項 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(2), (4)$。