101學測數學多選第12題詳解

由廣義角三角函數的定義， $$\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{2}{3}.$$ 已知終邊上一點 $P$ 的 $y$ 坐標為 $-4$，代入可得 $$\frac{-4}{x}=\frac{2}{3} \implies x=-6.$$ 所以 $P=(-6,-4)$，終邊在第三象限，且 $$\overline{OP}=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}=2\sqrt{13}.$$ 因此選項 $(2)$ 正確，選項 $(1)$ 錯誤。 又 $$\cos\theta=\frac{x}{\overline{OP}}=\frac{-6}{2\sqrt{13}}=-\frac{3}{\sqrt{13}},$$ 故選項 $(3)$ 錯誤。 接著 $$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=\frac{12}{13}>0,$$ 故選項 $(4)$ 正確。 最後判斷半角。因為 $\theta$ 是廣義角，同一終邊可表示為 $$\theta=\theta_0+360^\circ k,$$ 其中 $k$ 為整數。取半角後 $$\frac{\theta}{2}=\frac{\theta_0}{2}+180^\circ k.$$ 當 $k$ 的奇偶不同時，$\frac{\theta}{2}$ 會落在相差 $180^\circ$ 的方向，餘弦值正負會相反。因此 $\cos\frac{\theta}{2}$ 的正負無法唯一確定，選項 $(5)$ 不一定正確。 綜合可得，正確選項為 $(2)(4)$。