由 $\sin\theta=-\dfrac{2}{3}$、$\cos\theta>0$，知 $\theta$ 在第四象限，$\cos\theta=\dfrac{\sqrt5}{3}$，$\tan\theta=-\dfrac{2}{\sqrt5}$。 $(1)$ $\tan\theta<0$，正確。 $(2)$ $\tan^2\theta=\dfrac{4}{5}>\dfrac{4}{9}$，正確。 $(3)$ $\sin^2\theta=\dfrac{4}{9}<\cos^2\theta=\dfrac{5}{9}$，錯。 $(4)$ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot(-\tfrac{2}{3})\cdot\tfrac{\sqrt5}{3}=-\dfrac{4\sqrt5}{9}<0$，錯。 $(5)$ $\theta\approx326.4^\circ$（第四象限），$2\theta\approx652.9^\circ\equiv292.9^\circ$ 亦在第四象限，終邊同象限，錯。 故選 $(1)(2)$。