100學測數學多選第8題詳解

因為 $\sin\theta = -\frac{2}{3} < 0$ 且 $\cos\theta > 0$，所以 $\theta$ 在第四象限。 由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 得 $\cos\theta = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$，$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$。 選項 $(1)$ $\tan\theta<0$，正確。 $(2)$ $\tan^2\theta=\frac{4}{5}>\frac{4}{9}$，正確。 $(3)$ $\sin^2\theta=\frac{4}{9}<\cos^2\theta=\frac{5}{9}$，錯。 $(4)$ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot(-\tfrac{2}{3})\cdot\tfrac{\sqrt5}{3}=-\frac{4\sqrt5}{9}<0$，錯。 $(5)$ $\theta\approx326.4^\circ$（第四象限），$2\theta\approx652.9^\circ\equiv292.9^\circ$ 亦在第四象限，終邊同象限，錯。 故選 $(1)(2)$。