100學測數學多選第7題詳解

三角形的三個頂點為 $O(0,0)$、$A(1,1)$、$B(1,-1)$。$\triangle OAB$ 為等腰三角形，其內部由不等式 $0 < x < 1$ 且 $|y| < x$ 所界定（$x$ 為實部，$y$ 為虛部）。 選項 $(1)$ $\cos 60^\circ$ 落在三角形內部。因為 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ 對應點 $(0.5, 0)$，滿足 $0 < 0.5 < 1$ 且 $|0| < 0.5$，所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$ $\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ$ 落在三角形內部。因為 $\cos 50^\circ \approx 0.643$，$\sin 50^\circ \approx 0.766$，$|0.766| > 0.643$ 不滿足 $|y| < x$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$ $\frac{4-3i}{5}$ 落在三角形內部。對應點 $(0.8, -0.6)$，因為 $|{-0.6}| = 0.6 < 0.8$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$ $\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}$ 落在三角形內部。對應點 $(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866)$，因為 $|0.866| > 0.5$，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$ $(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)^{25}$ 落在三角形內部。因為由棣美弗定理，$(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)^{25} = \cos 750^\circ + i\sin 750^\circ = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$，對應點 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0.5) \approx (0.866, 0.5)$，因為 $|0.5| < 0.866$，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)$(3)$(5)$。